The physics of a
prévision d'arc-en-ciel

01 · Optique

Pourquoi un arc-en-ciel est toujours à 42 degrés

Un arc-en-ciel n'est pas un objet, mais une direction. C'est l'ensemble des angles auxquels les gouttes de pluie vous renvoient la lumière du soleil le plus intensément.

Un rayon de soleil pénètre dans une goutte sphérique, se réfracte, se réfléchit une fois sur la paroi interne, puis se réfracte à nouveau en sortant. S'il entre avec un angle d'incidence \(i\), l'angle total dont il est dévié est

où \(r\) est l'angle de réfraction à l'intérieur de la goutte et l'indice de réfraction de l'eau, \(n\), vaut \(1.333\). Les rayons frappent la goutte à tous les angles d'incidence de 0 à 90 degrés, et ressortent donc avec un éventail de déviations. Les arcs-en-ciel apparaissent là où cet éventail se resserre.

"Se resserrer" est précis : l'intensité lumineuse s'accumule là où l'angle de déviation \(D\) est stationnaire, c'est-à-dire là où de nombreux rayons ressortent presque parallèles. En posant à 0 la dérivée de la déviation par rapport à l'angle d'incidence, puis en utilisant la loi de Snell (niveau lycée), on obtient l'angle d'entrée du rayon à déviation minimale,

ce qui, pour l'eau, donne \(i \approx 59.4^\circ\), soit une déviation minimale de \(138^\circ\). En l'observant, on regarde toutefois en sens inverse de la lumière incidente, si bien que l'anneau lumineux se situe à

du point directement opposé au soleil. C'est une caustique. Voyez-le ainsi : imaginez des billes qui roulent le long d'une pente. Normalement, elles se dispersent en bas sans motif particulier. Maintenant, placez un trou au bas de la pente et elles s'y accumulent. La même physique rassemble ces rayons doublement réfractés en un arc-en-ciel au lieu de les disperser.

Les différentes couleurs apparaissent pour une raison liée. L'eau dévie plus le violet que le rouge, avec \(n\) plus grand pour le violet (\(1.343\)) que pour le rouge (\(1.331\)), si bien que la caustique se situe à \(40.6^\circ\) pour le violet et à \(42.4^\circ\) pour le rouge. Le rouge occupe le bord extérieur, et l'arc entier fait moins de deux degrés d'épaisseur. Un second arc, plus faible, à \(51^\circ\) provient de deux réflexions internes, avec les couleurs inversées. Entre les deux se trouve la bande sombre d'Alexandre, s'étendant de \(42.4^\circ\) à \(51^\circ\). Bowcast note l'arc primaire, pas le secondaire.

La conséquence réellement utilisée par la prévision

Comme l'anneau lumineux se situe à \(42^\circ\) du point antisolaire, et que le point antisolaire est exactement à l'opposé du soleil, à une élévation de \(-h_\odot\), le sommet de l'arc se trouve à l'élévation \(42^\circ - h_\odot\). Plus le soleil monte, plus l'arc s'enfonce. Quand le soleil dépasse \(42^\circ\), l'arc entier passe sous l'horizon et il n'y a plus rien à voir.

La première chose que Bowcast calcule pour chaque heure est l'élévation et l'azimut du soleil selon l'algorithme de position solaire de la NOAA. Si le soleil est couché ou au-delà de \(42^\circ\), l'heure obtient un score exactement nul avant même que la météo soit prise en compte, ce qui fait de la géométrie une barrière absolue. Ce qui mène à la partie suivante.

02 · Le modèle

De la géométrie à un nombre

La géométrie indique si un arc-en-ciel est possible, mais c'est la météo qui décide si les ingrédients sont présents dans cette portion du ciel à cet instant. Bowcast note chaque condition nécessaire entre 0 et 1, puis les multiplie. Si l'une de ces conditions vaut zéro, le score est nul.

Le score de conditions sur 100 mesure à quel point une prévision correspond à un scénario propice à un arc-en-ciel. Ce n'est ni un pourcentage ni une fréquence observée. Les trois premiers facteurs représentent la lumière directe, les gouttes liquides et la géométrie. Les modificateurs restants ajustent pour la convection, l'alignement, le vent, la température et la confiance de la prévision.

Published studies inform which ingredients matter and their broad relationship to rainbow occurrence. For example, Liu et al. (2023) found that about 90% of observed rainbows in ZhaoSu, China, occurred during the hour after rainfall. The model has not yet been calibrated against a large, international, representative set of positive and negative observations. That is why Bowcast invites anonymous yes-or-no sighting reports: to build the evidence needed for future calibration.

\(f_{\text{sun}}\) : le disque solaire éclaire-t-il vraiment les gouttes

À partir de la durée d'ensoleillement direct prévue, la fraction de l'heure avec un vrai soleil, élevée à une puissance concave :

L'exposant est une heuristique de Bowcast qui traduit une idée simple : un arc-en-ciel a besoin d'un instant ensoleillé, pas d'une heure entièrement ensoleillée. Dix minutes de soleil représentent \(0.17\) d'une heure et produisent \(f_{\text{sun}} = 0.49\). Quand la durée d'ensoleillement est absente, un repli heuristique fondé sur les couches nuageuses prend le relais, \(1 - 0.9\,c_{\text{low}} - 0.5\,c_{\text{mid}} - 0.15\,c_{\text{high}}\). Les nuages bas pèsent davantage car ils sont plus susceptibles de masquer le disque solaire au point de prévision.

\(f_{\text{rain}}\) : des gouttes liquides dans le ciel antisolaire, juste après la pluie

In the ZhaoSu, China observations studied by Liu et al. (2023), about 90% of observed rainbows occurred during the hour after rainfall. That regional result supports giving clearing showers extra attention, but it is not a universal rate. Bowcast expresses the idea with a temporal maximum:

Here \(q_{-1}\) is the previous hour clearing out, \(q_0\) is the current hour, and \(q_{+1}\) is the next hour approaching, all relative to the hour being scored by Bowcast. Each \(q\) scores the rain in a forecast hour using two things. How much rain falls in mm/h and what type of rain it is. Bowcast's drop-quality curve favours light-to-moderate rain, while the type weighting favours convective showers over steady rain and drizzle (following the physical patterns discussed by Businger 2021). The exact cutoffs, plateau, and type weights are Bowcast heuristics, not thresholds validated by those papers.

\(f_{\text{elev}}\) et les petits ajustements

Un soleil plus bas signifie un arc plus haut au-dessus de l'horizon, donc Bowcast utilise \(f_{\text{elev}} = 0.6 + 0.4(1 - h_\odot/42)\). Il applique ensuite les modificateurs suivants : énergie convective, alignement du vent, confiance dans les précipitations, vent fort et pluie proche du gel. Le raisonnement physique s'appuie sur la recherche, mais des valeurs comme \(1.15\), \(0.12\) et les formes d'atténuation sont des choix de modèle qui nécessitent un calibrage.

03 · Incertitude

D'un score à une estimation d'ensemble

Le score de conditions sur 100 indique à quel point une prévision correspond au scénario, tandis que la probabilité estimée mise en avant résume l'incertitude à travers un ensemble. C'est une estimation pondérée du modèle, pas encore une probabilité calibrée sur des fréquences d'arcs-en-ciel observées. Si les flux d'ensemble sont indisponibles, Bowcast affiche à la place le score de conditions sur 100, déterministe.

L'ensemble ICON fournit 40 variations de la même prévision. Chacune s'appelle un membre et représente un résultat météo possible; Bowcast vérifie si le soleil est assez bas, si des précipitations apparaissent pendant ou près de l'heure, si le ciel n'est pas presque entièrement couvert, et si un soleil direct est prévu ou déduit. Chaque membre contribue alors une valeur entre 0 et 1 : 0 quand un ingrédient requis manque, et jusqu'à 1 à mesure que le soleil direct se renforce. Bowcast fait la moyenne de ces valeurs pour produire la probabilité estimée :

Par membre, plutôt que des marginales multipliées. The quantity we want is \(E[\mathbb{1}_{\text{rain}}\,s_{\text{sun}}]\) over the joint distribution. Each member carries its own internal rain–sun correlation, so averaging the product within each member estimates it directly. Multiplying the ensemble mean \(P(\text{rain})\cdot P(\text{sun})\) instead is biased whenever rainfall and sunshine correlate. They correlate strongly because the same clearing shower can bring both the raindrops and the sunbreak. \(E[XY] \neq E[X]\,E[Y]\) unless \(X\) and \(Y\) are independent, which they are not here.

Des ingrédients d'occurrence plutôt que l'intensité de la pluie. The member weight \(w\) is the sunlight term gated on rain, rather than a product of rain rate and sunlight. This prevents heavier rain from automatically producing a higher Estimated chance. Rain intensity still contributes to the separate Conditions score /100 through \(f_{\text{rain}}\).

The sun term uses each member's irradiance normale directe, the forecast solar beam in W/m², with Bowcast's heuristic ramp \(s = \mathrm{clamp}\!\big((\text{DNI} - 80)/240,\,0,\,1\big)\). Direct irradiance represents a sunbreak more directly than total cloud fraction. In a 2024 reanalysis comparison, this change raised estimates for Honolulu (in Hawaiʻi, which Businger (2021) describes as the rainbow capital of the world) much more than for Phoenix:

04 · Vérifications historiques

Tests par rapport à la météo enregistrée

Bowcast exécute sa fonction de notation de production sur les archives historiques d'Open-Meteo, une reconstitution des conditions atmosphériques passées. Les archives n'ont ni probabilité de précipitations ni distinction pluie/averses, donc les vérifications correspondantes utilisent l'hypothèse de confiance par défaut du score de production et déduisent les averses des codes météo et du CAPE (énergie potentielle disponible pour la convection). Ces vérifications montrent si Bowcast réagit raisonnablement ou non à la météo historique, mais n'établissent pas la précision de la prévision, car les archives ne consignent pas si un arc-en-ciel a réellement été observé. Elles sont toutefois complétées par des cas rétrospectifs d'événements d'arc-en-ciel bien documentés, comme les suivants :

Le double arc-en-ciel de Londres, le 8 septembre 2022

Le célèbre double arc-en-ciel au-dessus de Buckingham Palace est apparu le soir où la reine est décédée. Faites tourner le modèle sur toute cette semaine à Londres et demandez-lui quel soir il aurait signalé. Ses scores de pic quotidien :

Un contrôle de cohérence climatologique

Une année complète de réanalyse à Honolulu montre quand les ingrédients de Bowcast s'alignent souvent. Le schéma attendu de fin de journée et de saison des pluies est un contrôle utile, mais pas un décompte d'arcs-en-ciel observés.

Sur l'ensemble des simulations de réanalyse, Honolulu produit des conditions qualifiantes selon le modèle sur davantage de jours que Phoenix (200 contre 29). Ceci concorde, dans sa tendance, avec la climatologie publiée actuelle.

05 · En ce moment

De la prévision à l'observation

Tout ce qui précède est une prévision. À l'heure actuelle, cependant, Bowcast peut faire la seule chose qu'une prévision ne peut pas : vérifier si les ingrédients sont réellement dans le ciel. Deux flux d'observation gratuits et sans clé viennent s'ajouter au score, sans jamais y être intégrés, afin que les rétrotests ci-dessus restent honnêtes.

When geometry, observed sun, and observed antisolar rain align, the live board marks the ingredients as observed and tells you which way to face. That is a prompt to look, not confirmation that a rainbow is visible.

06 · Honnêteté

Ce qu'il ne fait délibérément pas