The physics of a
pronóstico de arcoíris

01 · Óptica

Por qué un arcoíris siempre está a 42 grados

Un arcoíris no es un objeto, sino una dirección. Es el conjunto de ángulos en los que las gotas de lluvia te devuelven la luz del sol con más brillo.

Un rayo de luz solar entra en una gota esférica, se refracta, se refleja una vez en la pared interior y se refracta de nuevo al salir. Si entra con un ángulo de incidencia \(i\), el ángulo total que gira es

donde \(r\) es el ángulo de refracción dentro de la gota y el índice de refracción del agua, \(n\), es \(1.333\). Los rayos inciden en la gota con todos los ángulos posibles entre 0 y 90 grados, así que salen con una dispersión de desviaciones. Los arcoíris aparecen donde esa dispersión se concentra.

"Concentrarse" es preciso: la intensidad de la luz se acumula donde el ángulo de desviación \(D\) es estacionario, es decir, donde muchos rayos salen casi paralelos. Igualando a 0 la derivada de la desviación respecto al ángulo de incidencia, y usando física de bachillerato, la ley de Snell, se obtiene el ángulo de entrada del rayo de desviación mínima,

que para el agua es \(i \approx 59.4^\circ\), lo que da una desviación mínima de \(138^\circ\). Sin embargo, al mirarlo, miramos hacia atrás a lo largo de la luz solar entrante, así que el anillo brillante se sitúa a

del punto directamente opuesto al sol. Esto es una cáustica. Piénsalo así: imagina canicas rodando por una pendiente. Normalmente se dispersan abajo sin ningún patrón. Ahora pon un agujero al final y se amontonan dentro. La misma física reúne estos rayos doblemente refractados en un arcoíris en lugar de dispersarlos.

Los distintos colores aparecen por una razón relacionada. El agua desvía el violeta más que el rojo, con \(n\) mayor para el violeta (\(1.343\)) que para el rojo (\(1.331\)), así que la cáustica cae en \(40.6^\circ\) para el violeta y en \(42.4^\circ\) para el rojo. El rojo va por el borde exterior, y todo el arco tiene menos de dos grados de grosor. Un segundo arco, más tenue, a \(51^\circ\), procede de dos reflexiones internas, con los colores invertidos. Entre los dos se encuentra la banda oscura de Alexander, que abarca de \(42.4^\circ\) a \(51^\circ\). Bowcast puntúa el arco primario, no el secundario.

La consecuencia que realmente usa el pronóstico

Como el anillo brillante está a \(42^\circ\) del punto antisolar, y el punto antisolar se sitúa exactamente opuesto al sol, a una elevación de \(-h_\odot\), la parte más alta del arco está a una elevación de \(42^\circ - h_\odot\). Si el sol sube, el arco baja. Cuando el sol supera los \(42^\circ\), todo el arco queda bajo el horizonte y no hay nada que ver.

Lo primero que Bowcast calcula para cada hora es la elevación y el azimut del sol mediante el algoritmo de posición solar de la NOAA. Si el sol está bajo el horizonte o por encima de \(42^\circ\), la hora puntúa exactamente cero antes de considerar el clima siquiera, es decir, la geometría es una barrera estricta. Eso lleva a la siguiente parte.

02 · El modelo

De la geometría a un número

La geometría dice si un arcoíris es posible, pero el clima decide si los ingredientes están presentes en ese trozo de cielo en ese momento. Bowcast puntúa cada condición necesaria entre 0 y 1, y luego las multiplica. Si alguna de esas condiciones es cero, la puntuación es cero.

La puntuación de condiciones sobre 100 mide cuánto se parece un pronóstico a un patrón que produce arcoíris. No es un porcentaje ni una frecuencia observada. Los primeros tres factores representan la luz directa, las gotas líquidas y la geometría. Los modificadores restantes ajustan por convección, alineación, viento, temperatura y confianza del pronóstico.

Published studies inform which ingredients matter and their broad relationship to rainbow occurrence. For example, Liu et al. (2023) found that about 90% of observed rainbows in ZhaoSu, China, occurred during the hour after rainfall. The model has not yet been calibrated against a large, international, representative set of positive and negative observations. That is why Bowcast invites anonymous yes-or-no sighting reports: to build the evidence needed for future calibration.

\(f_{\text{sun}}\): ¿el disco solar ilumina de verdad las gotas?

A partir de la duración del pronóstico de sol directo, la fracción de la hora con sol real, elevada a una potencia cóncava:

El exponente es una heurística de Bowcast que refleja una idea simple: un arcoíris necesita un momento de sol, no una hora totalmente soleada. Diez minutos de sol son \(0.17\) de una hora y producen \(f_{\text{sun}} = 0.49\). Cuando falta la duración de sol, la sustituye una heurística de respaldo basada en capas de nubes, \(1 - 0.9\,c_{\text{low}} - 0.5\,c_{\text{mid}} - 0.15\,c_{\text{high}}\). La nube baja pesa más porque tiene más probabilidad de tapar el disco solar en el punto del pronóstico.

\(f_{\text{rain}}\): gotas líquidas en el cielo antisolar, justo después de la lluvia

In the ZhaoSu, China observations studied by Liu et al. (2023), about 90% of observed rainbows occurred during the hour after rainfall. That regional result supports giving clearing showers extra attention, but it is not a universal rate. Bowcast expresses the idea with a temporal maximum:

Here \(q_{-1}\) is the previous hour clearing out, \(q_0\) is the current hour, and \(q_{+1}\) is the next hour approaching, all relative to the hour being scored by Bowcast. Each \(q\) scores the rain in a forecast hour using two things. How much rain falls in mm/h and what type of rain it is. Bowcast's drop-quality curve favours light-to-moderate rain, while the type weighting favours convective showers over steady rain and drizzle (following the physical patterns discussed by Businger 2021). The exact cutoffs, plateau, and type weights are Bowcast heuristics, not thresholds validated by those papers.

\(f_{\text{elev}}\) y los ajustes menores

Un sol más bajo significa un arco más elevado sobre el horizonte, así que Bowcast usa \(f_{\text{elev}} = 0.6 + 0.4(1 - h_\odot/42)\). Luego aplica los siguientes modificadores: energía convectiva, alineación del viento, confianza en la precipitación, viento fuerte y lluvia cercana a la congelación. El razonamiento físico está basado en investigación, pero valores como \(1.15\), \(0.12\) y las formas de atenuación son decisiones del modelo que requieren calibración.

03 · Incertidumbre

De una puntuación a una estimación de conjunto

La puntuación de condiciones sobre 100 pregunta cuánto se ajusta un pronóstico al patrón, mientras que la probabilidad estimada principal resume la incertidumbre en todo un conjunto. Es una estimación ponderada del modelo que aún no es una probabilidad calibrada contra frecuencias observadas de arcoíris. Si no hay datos de conjunto disponibles, Bowcast muestra en su lugar la puntuación de condiciones determinista sobre 100.

El conjunto ICON aporta 40 variaciones del mismo pronóstico. A cada una se le llama miembro y representa un posible resultado meteorológico; Bowcast comprueba si el sol está lo bastante bajo, si aparece precipitación en la hora o cerca de ella, si el cielo no está casi totalmente cubierto y si se pronostica o se infiere sol directo. Cada miembro aporta entonces un valor entre 0 y 1: 0 cuando falta un ingrediente necesario, y hasta 1 a medida que el sol directo se fortalece. Bowcast promedia esos valores para producir la probabilidad estimada:

Por miembro, en lugar de marginales multiplicados. The quantity we want is \(E[\mathbb{1}_{\text{rain}}\,s_{\text{sun}}]\) over the joint distribution. Each member carries its own internal rain–sun correlation, so averaging the product within each member estimates it directly. Multiplying the ensemble mean \(P(\text{rain})\cdot P(\text{sun})\) instead is biased whenever rainfall and sunshine correlate. They correlate strongly because the same clearing shower can bring both the raindrops and the sunbreak. \(E[XY] \neq E[X]\,E[Y]\) unless \(X\) and \(Y\) are independent, which they are not here.

Ingredientes de ocurrencia, no intensidad de lluvia. The member weight \(w\) is the sunlight term gated on rain, rather than a product of rain rate and sunlight. This prevents heavier rain from automatically producing a higher Estimated chance. Rain intensity still contributes to the separate Conditions score /100 through \(f_{\text{rain}}\).

The sun term uses each member's irradiancia normal directa, the forecast solar beam in W/m², with Bowcast's heuristic ramp \(s = \mathrm{clamp}\!\big((\text{DNI} - 80)/240,\,0,\,1\big)\). Direct irradiance represents a sunbreak more directly than total cloud fraction. In a 2024 reanalysis comparison, this change raised estimates for Honolulu (in Hawaiʻi, which Businger (2021) describes as the rainbow capital of the world) much more than for Phoenix:

04 · Comprobaciones históricas

Pruebas frente al clima registrado

Bowcast ejecuta su función de puntuación de producción sobre el archivo histórico de Open-Meteo, una reconstrucción de condiciones atmosféricas pasadas. El archivo no tiene probabilidad de precipitación ni distingue lluvia de chubascos, así que esas comprobaciones usan la suposición de confianza por defecto de la puntuación de producción e infieren los chubascos a partir de los códigos meteorológicos y el CAPE (energía potencial disponible convectiva). Estas comprobaciones muestran si Bowcast responde de forma sensata al clima histórico o no, pero no establecen la precisión del pronóstico porque el archivo no registra si realmente se vio un arcoíris. Sin embargo, se complementan con casos retrospectivos de eventos de arcoíris bien documentados, como los siguientes:

El doble arcoíris de Londres, 8 de septiembre de 2022

El famoso doble arcoíris sobre el palacio de Buckingham apareció la tarde en que murió la reina. Al ejecutar el modelo sobre toda esa semana en Londres, cabe preguntar qué tarde habría señalado. Sus puntuaciones de pico diario:

Una comprobación de sensatez climatológica

Un año completo de reanálisis de Honolulu muestra cuándo suelen alinearse los ingredientes de Bowcast. El patrón esperado de última hora del día y temporada de lluvias es una comprobación útil, pero no un recuento de arcoíris observados.

En las ejecuciones de reanálisis, Honolulu produce condiciones que cumplen los criterios del modelo en más días que Phoenix (200 frente a 29). Esto coincide en tendencia con la climatología publicada actualmente.

05 · Ahora mismo

Del pronóstico a la observación

Todo lo anterior es un pronóstico. Sin embargo, en la hora actual, Bowcast puede hacer lo único que un pronóstico no puede: comprobar si los ingredientes están realmente en el cielo. Dos fuentes de observación gratuitas y sin clave se suman a la puntuación, nunca se integran en ella, para que las pruebas retrospectivas anteriores sigan siendo honestas.

When geometry, observed sun, and observed antisolar rain align, the live board marks the ingredients as observed and tells you which way to face. That is a prompt to look, not confirmation that a rainbow is visible.

06 · Honestidad

Lo que deliberadamente no hace