The physics of a
Regenbogen-Vorhersage

01 · Optik

Warum ein Regenbogen immer bei 42 Grad liegt

Ein Regenbogen ist kein Objekt, sondern eine Richtung. Er ist die Menge der Winkel, unter denen Regentropfen Sonnenlicht am hellsten zu dir zurückwerfen.

Ein Sonnenstrahl tritt in einen kugelförmigen Tropfen ein, wird gebrochen, einmal an der Innenwand reflektiert und beim Austritt erneut gebrochen. Tritt er mit dem Einfallswinkel \(i\) ein, beträgt der gesamte Winkel, um den er gedreht wird,

wobei \(r\) der Brechungswinkel im Tropfen ist und der Brechungsindex von Wasser, \(n\), \(1.333\) beträgt. Strahlen treffen den Tropfen bei jedem Einfallswinkel von 0 bis 90 Grad, sodass sie über eine Streuung von Ablenkwinkeln austreten. Regenbögen entstehen dort, wo sich diese Streuung ballt.

"Ballen" ist präzise gemeint: Die Lichtintensität häuft sich dort, wo der Ablenkwinkel \(D\) stationär ist, das heißt, viele Strahlen treten fast parallel aus. Setzt man die Ableitung der Ablenkung nach dem Einfallswinkel gleich 0 und wendet dann Schulphysik, das Snelliussche Brechungsgesetz, an, ergibt sich der Eintrittswinkel des Strahls mit minimaler Ablenkung,

was für Wasser \(i \approx 59.4^\circ\) ergibt und eine minimale Ablenkung von \(138^\circ\) liefert. Beim Hinsehen blicken wir jedoch entgegen der einfallenden Sonnenstrahlen zurück, sodass der helle Ring liegt bei

vom Punkt genau gegenüber der Sonne aus. Das ist eine Kaustik. Stell es dir so vor: Murmeln rollen einen Hang hinunter. Normalerweise verteilen sie sich unten fast ohne Muster. Jetzt setzt man unten ein Loch ein, und sie sammeln sich darin. Dieselbe Physik bündelt diese zweifach gebrochenen Strahlen zu einem Regenbogen, statt sie zu verstreuen.

Unterschiedliche Farben entstehen aus einem verwandten Grund. Wasser bricht Violett stärker als Rot, wobei \(n\) für Violett (\(1.343\)) größer ist als für Rot (\(1.331\)), sodass die Kaustik bei \(40.6^\circ\) für Violett und bei \(42.4^\circ\) für Rot liegt. Rot liegt am äußeren Rand, und der ganze Bogen ist keine zwei Grad dick. Ein zweiter, schwächerer Bogen bei \(51^\circ\) entsteht durch zwei innere Reflexionen, mit vertauschten Farben. Zwischen beiden liegt Alexanders dunkles Band, das von \(42.4^\circ\) bis \(51^\circ\) reicht. Bowcast bewertet den primären Bogen, nicht den sekundären.

Die Folge, die die Vorhersage tatsächlich nutzt

Weil der helle Ring \(42^\circ\) vom Gegensonnenpunkt entfernt liegt und der Gegensonnenpunkt genau gegenüber der Sonne bei Höhe \(-h_\odot\) steht, liegt der Scheitel des Bogens bei Höhe \(42^\circ - h_\odot\). Steigt die Sonne, sinkt der Bogen. Steigt die Sonne über \(42^\circ\), liegt der gesamte Bogen unter dem Horizont, und es gibt nichts zu sehen.

Das Erste, was Bowcast für jede Stunde berechnet, ist der Sonnenstand, Höhe und Azimut, nach dem NOAA-Algorithmus zur Sonnenposition. Steht die Sonne unter dem Horizont oder über \(42^\circ\), erhält die Stunde einen Wert von genau null, noch bevor das Wetter überhaupt berücksichtigt wird: Die Geometrie ist ein hartes Ausschlusskriterium. Das führt zum nächsten Teil.

02 · Das Modell

Von der Geometrie zur Zahl

Die Geometrie sagt, ob ein Regenbogen möglich ist, aber das Wetter entscheidet, ob die Zutaten in diesem Stück Himmel in diesem Moment vorhanden sind. Bowcast bewertet jede notwendige Bedingung zwischen 0 und 1 und multipliziert sie anschließend. Ist eine dieser Bedingungen null, ist der Wert null.

Der Bedingungswert /100 misst, wie genau eine Vorhersage einem regenbogenbildenden Muster entspricht. Er ist kein Prozentsatz und keine beobachtete Häufigkeit. Die ersten drei Faktoren stehen für direktes Licht, flüssige Tropfen und Geometrie. Die übrigen Modifikatoren passen für Konvektion, Ausrichtung, Wind, Temperatur und Vorhersagesicherheit an.

Published studies inform which ingredients matter and their broad relationship to rainbow occurrence. For example, Liu et al. (2023) found that about 90% of observed rainbows in ZhaoSu, China, occurred during the hour after rainfall. The model has not yet been calibrated against a large, international, representative set of positive and negative observations. That is why Bowcast invites anonymous yes-or-no sighting reports: to build the evidence needed for future calibration.

\(f_{\text{sun}}\): Scheint die Scheibe wirklich auf die Tropfen

Aus der direkten Sonnenscheindauer der Vorhersage, dem Anteil der Stunde mit echter Sonne, potenziert mit einem konkaven Exponenten:

Der Exponent ist eine Bowcast-Heuristik, die eine einfache Idee widerspiegelt: Ein Regenbogen braucht einen sonnigen Moment, keine vollständig sonnige Stunde. Zehn Minuten Sonnenschein sind \(0.17\) einer Stunde und ergeben \(f_{\text{sun}} = 0.49\). Fehlt die Sonnenscheindauer, springt ein heuristischer Ersatzwert für geschichtete Bewölkung ein, \(1 - 0.9\,c_{\text{low}} - 0.5\,c_{\text{mid}} - 0.15\,c_{\text{high}}\). Tiefe Wolken werden stärker gewichtet, weil sie die Sonnenscheibe am Vorhersagepunkt eher verdecken.

\(f_{\text{rain}}\): flüssige Tropfen im Gegensonnenhimmel, kurz nach dem Regen

In the ZhaoSu, China observations studied by Liu et al. (2023), about 90% of observed rainbows occurred during the hour after rainfall. That regional result supports giving clearing showers extra attention, but it is not a universal rate. Bowcast expresses the idea with a temporal maximum:

Here \(q_{-1}\) is the previous hour clearing out, \(q_0\) is the current hour, and \(q_{+1}\) is the next hour approaching, all relative to the hour being scored by Bowcast. Each \(q\) scores the rain in a forecast hour using two things. How much rain falls in mm/h and what type of rain it is. Bowcast's drop-quality curve favours light-to-moderate rain, while the type weighting favours convective showers over steady rain and drizzle (following the physical patterns discussed by Businger 2021). The exact cutoffs, plateau, and type weights are Bowcast heuristics, not thresholds validated by those papers.

\(f_{\text{elev}}\) und die kleinen Feinheiten

Tieferer Sonnenstand bedeutet einen höher über dem Horizont stehenden Bogen, daher verwendet Bowcast \(f_{\text{elev}} = 0.6 + 0.4(1 - h_\odot/42)\). Anschließend wendet es folgende Modifikatoren an: konvektive Energie, Windausrichtung, Niederschlagssicherheit, starker Wind und Regen nahe dem Gefrierpunkt. Die physikalische Begründung ist forschungsgestützt, aber Werte wie \(1.15\), \(0.12\) und die Form der Abschwächungskurven sind Modellentscheidungen, die kalibriert werden müssen.

03 · Unsicherheit

Von einem Wert zu einer Ensemble-Schätzung

Der Bedingungswert /100 fragt, wie gut eine Vorhersage zum Muster passt, während die geschätzte Wahrscheinlichkeit in der Überschrift die Unsicherheit über ein Ensemble hinweg zusammenfasst. Es ist eine gewichtete Modellschätzung, die noch keine an beobachteten Regenbogenhäufigkeiten kalibrierte Wahrscheinlichkeit ist. Sind keine Ensemble-Daten verfügbar, zeigt Bowcast stattdessen den deterministischen Bedingungswert /100.

Das ICON-Ensemble liefert 40 Varianten derselben Vorhersage. Jede davon heißt Mitglied und stellt einen möglichen Wetterausgang dar. Bowcast prüft dabei, ob die Sonne tief genug steht, ob Niederschlag in oder nahe der Stunde auftritt, ob der Himmel nicht fast vollständig bedeckt ist und ob direktes Sonnenlicht vorhergesagt oder abgeleitet wird. Jedes Mitglied liefert dann einen Wert zwischen 0 und 1: 0, wenn eine nötige Zutat fehlt, und bis zu 1, je stärker das direkte Sonnenlicht wird. Bowcast mittelt diese Werte, um die geschätzte Wahrscheinlichkeit zu ergeben:

Pro Mitglied, statt multiplizierter Randwerte. The quantity we want is \(E[\mathbb{1}_{\text{rain}}\,s_{\text{sun}}]\) over the joint distribution. Each member carries its own internal rain–sun correlation, so averaging the product within each member estimates it directly. Multiplying the ensemble mean \(P(\text{rain})\cdot P(\text{sun})\) instead is biased whenever rainfall and sunshine correlate. They correlate strongly because the same clearing shower can bring both the raindrops and the sunbreak. \(E[XY] \neq E[X]\,E[Y]\) unless \(X\) and \(Y\) are independent, which they are not here.

Auftretens-Zutaten statt Regenintensität. The member weight \(w\) is the sunlight term gated on rain, rather than a product of rain rate and sunlight. This prevents heavier rain from automatically producing a higher Estimated chance. Rain intensity still contributes to the separate Conditions score /100 through \(f_{\text{rain}}\).

The sun term uses each member's Direktnormalstrahlung, the forecast solar beam in W/m², with Bowcast's heuristic ramp \(s = \mathrm{clamp}\!\big((\text{DNI} - 80)/240,\,0,\,1\big)\). Direct irradiance represents a sunbreak more directly than total cloud fraction. In a 2024 reanalysis comparison, this change raised estimates for Honolulu (in Hawaiʻi, which Businger (2021) describes as the rainbow capital of the world) much more than for Phoenix:

04 · Historische Prüfungen

Tests anhand aufgezeichneter Wetterdaten

Bowcast führt seine Produktions-Bewertungsfunktion über Open-Meteos historisches Archiv aus, eine Rekonstruktion vergangener atmosphärischer Bedingungen. Das Archiv enthält weder eine Niederschlagswahrscheinlichkeit noch eine Aufteilung in Regen und Schauer, daher verwenden die entsprechenden Prüfungen die Standard-Sicherheitsannahme der Produktionsbewertung und leiten Schauer aus Wettercodes und CAPE(Convective Available Potential Energy) ab. Diese Prüfungen zeigen, ob Bowcast sinnvoll auf historisches Wetter reagiert, belegen aber keine Vorhersagegenauigkeit, da das Archiv nicht festhält, ob tatsächlich ein Regenbogen gesehen wurde. Sie werden jedoch durch rückblickende Fälle gut dokumentierter Regenbogenereignisse ergänzt, wie zum Beispiel:

Der doppelte Regenbogen über London, 8. September 2022

Der berühmte doppelte Regenbogen über dem Buckingham Palace erschien an dem Abend, an dem die Queen starb. Lässt man das Modell über diese ganze Woche in London laufen und fragt, welchen Abend es markiert hätte, ergeben sich diese täglichen Höchstwerte:

Ein klimatologischer Plausibilitätscheck

Ein volles Jahr Reanalyse für Honolulu zeigt, wann Bowcasts Zutaten häufig zusammenkommen. Das erwartete Muster aus späten Tagesstunden und Regenzeit ist eine nützliche Prüfung, aber keine Zählung beobachteter Regenbögen.

Über die Reanalyse-Läufe hinweg erzeugt Honolulu an mehr Tagen modell-qualifizierende Bedingungen als Phoenix (200 gegenüber 29). Das stimmt in der Tendenz mit aktuell veröffentlichter Klimatologie überein.

05 · Gerade jetzt

Von der Vorhersage zur Beobachtung

Alles bisher ist eine Vorhersage. Für die aktuelle Stunde kann Bowcast jedoch das eine tun, was eine Vorhersage nicht kann: prüfen, ob die Zutaten tatsächlich am Himmel stehen. Zwei kostenlose, schlüssellose Beobachtungsquellen liegen oben auf dem Wert, ohne je in ihn einzufließen, damit die Backtests oben ehrlich bleiben.

When geometry, observed sun, and observed antisolar rain align, the live board marks the ingredients as observed and tells you which way to face. That is a prompt to look, not confirmation that a rainbow is visible.

06 · Ehrlichkeit

Was es bewusst nicht tut